+7 (812) 494-9090
Обратная связьEnglish
Главная → Статьи → Радиолокация → MIMO РЛС сверхвысокого разрешения
Версия для печати

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

23 октября 2017

В последнее время в литературе, посвященной вопросам радиолокации, широко обсуждаются так называемые MIMO РЛС и их возможности. Термин MIMO (англ. Multi Input – Multi Output, «множественный вход – множественный выход») обозначает системы, использующие несколько передающих и несколько приемных антенн. Мы предлагаем перевод статьи, посвященной преимуществам MIMO РЛС, а также одной из проблем MIMO РЛС сверхвысокого разрешения и способу ее преодоления.

Автор: Рейнхард Хекель, кафедра электротехники и компьютерных наук, Калифорнийский университет, Беркли.




Аннотация

РЛС, использующая технологию нескольких передающих и нескольких приемных антенн (англ. Multiple Input, Multiple Output, MIMO, букв. «множественный вход – множественный выход»), излучает зондирующие сигналы при помощи нескольких передающих антенн и улавливает их отражения от целей при помощи нескольких приемных антенн. Оценка относительных углов, дальности и доплеровского смещения принятых сигналов позволяет определить местоположение и скорость целей. Стандартные подходы к MIMO РЛС, основанные на цифровых согласованных фильтрах или на опознании по сжатию (англ. compressed sensing) позволяют решать только связку угол-дальность-Доплер на сетке, имеющей шаг (1/(NT NR ), 1/B, 1/T), где NT и NR – количество передающих и приемных антенн, B – ширина полосы зондирующих сигналов, а T – время накопления отраженных сигналов. В этой статье мы показываем, что непрерывные связки угол-дальность-Доплер и соответствующие коэффициенты затухания можно точно восстановить из решения выпуклой задачи оптимизации. Восстановленные данные будут корректны, при условии, что связки угол-дальность-Доплер разнесены либо по углу: (10/NT NR -1), либо по задержке: (10.01/B), либо по направлению доплеровского смещения: (10.01/T). Более того, количество таких связок, которое может быть восстановлено, является оптимальным (вплоть до логарифмического масштаба).


Введение

Традиционная импульсно-доплеровская РЛС передает зондирующий сигнал и принимает отражение от целей при помощи одной антенны. Такая РЛС с одной передающей и одной приемной антеннами (англ. Single Input, Single Output, SISO) может определить относительное расстояние до цели и ее скорость, оценивая дальность и доплеровские смещения. SISO РЛС не может определить местоположение цели после одного измерения. MIMO РЛС [1, 2] одновременно используют несколько передающих антенн для передачи зондирующих сигналов и записывают отражения от целей при помощи нескольких приемных антенн. Таким образом, MIMO РЛС может определить относительные расстояния и скорости целей после одного измерения. В этой статье изучается проблема восстановления непрерывных значений углов, дальности и доплеровских смещений из реакций на заранее известные подходящие излучаемые сигналы. Как будет видно из статьи, эта проблема, которую называют проблемой MIMO РЛС сверхвысокого разрешения, сводится к восстановлению слабого сигнала из непрерывного набора линейных измерений.

Если цели лежат на достаточно крупной сетке, подходы, основанные на опознании по сжатию [3], достоверно восстанавливают связки угол-дальность-Доплер для MIMO РЛС [4] и пары дальность-Доплер для SISO РЛС [6, 7, 8]. Однако для проверки этих результатов [6, 7, 4, 5] предполагают, что углы, задержки и доплеровские смещения лежат на достаточно крупной сетке, имеющей шаг 1/(NT NR),1/B,и 1/T. Здесь NT и NR – количество передающих и приемных антенн, B – ширина полосы зондирующих сигналов, а Т – время накопления отраженных сигналов. Так как NT, NR, B и Т – физические параметры, в большинстве случаев им нельзя присваивать большие значения для уменьшения шага сетки. Большой размер сетки необходим, чтобы матрица измерений была достаточно несвязной. Следовательно, вышеупомянутые результаты не могут быть перенесены на сетку со значительно меньшим шагом. Однако в редких случаях восстановление можно осуществить с помощью спектрального анализа. Например, в случае одной приемной антенны и заранее известных или постоянных задержек, или заранее известных или постоянных доплеровских смещений, проблема РЛС сверхвысокого разрешения сводится к стандартной задаче оценки двухмерных спектральных линий [5, секция 5]. В таком случае, местоположение целей можно восстановить при помощи метода Прони [9]. Однако в большинстве случаев проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения не может быть сведена к задаче спектрального анализа, даже в случае SISO РЛС. Таким образом, традиционные методы спектрального анализа неприменимы для решения этой проблемы. Недавно для решения задачи спектрального анализа был предложен альтернативный выпуклый метод оптимизации. В частности, в [10] показано, что соответствующие частоты могут быть точно восстановлены за счет решения выпуклой вариационной задачи по минимизации нормы, при условии, что они достаточно разнесены. Для опознания по сжатию вне сетки были изучены различные методы решения выпуклых задач оптимизации [11], шумоподавления [12], восстановления сигнала из кратковременных измерений Фурье [13] и решения проблемы SISO РЛС сверхвысокого разрешения [14]. Проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения гораздо сложнее, чем её SISO-аналог, рассмотренный в [14]. Это связано с добавлением нового измерения – угла, а также с тем, что зондирующие сигналы с нескольких передающих антенн накладываются друг на друга на приемных антеннах.

В этой статье мы предлагаем метод решения выпуклой задачи оптимизации, похожий на [10, 11, 12, 14, 15], и показываем, что с её помощью можно получить точные непрерывные значения углов, дальности и доплеровских смещений при условии, что они достаточно разнесены. Насколько нам известно, это первый подход, который в большинстве случаев достоверно восстанавливает связки угол-дальность-Доплер вне сетки. Далее, мы показываем, что простой метод выпуклой L1-минимизации может восстановить значения углов, дальности и доплеровских смещений на достаточно мелкой сетке, при условии, что они разнесены. Мы также продемонстрируем численные результаты, подтверждающие, что этот подход устойчив к помехам.


Модель сигнала и формальная постановка задачи

Мы рассматриваем MIMO РЛС c NT передающими и NR приемными антеннами, лежащими в одной плоскости с целями S (см. рисунок 1). Этот метод может быть использован для обнаружения целей, находящихся в трехмерном пространстве, но для наглядности мы сосредоточимся на целях, лежащих на плоскости. Мы предполагаем, что цели находятся в дальней зоне решетки, что позволяет равномерно разнести передающие и приемные антенны на расстояния λ/2 и NT λ/2 соответственно, где λ – длина волны на несущей частоте. Такое расположение создает равномерно разнесенную виртуальную решетку с NTNR антеннами, максимизируя количество виртуальных антенн, которое можно получить из NT передающих и NR приемных антенн [16, 17]. Видеосигнал yr(t), который антенна r = 0,…, NR – 1 принимает за продолжительное время t, состоит из суперпозиции отраженных от целей зондирующих сигналов xj(t), j = 0, …, NT – 1 и задается следующим выражением:

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Здесь, коэффициент ослабления, показатель угла или азимута, задержка и доплеровское смещение k-ой цели – коэффициент ослабления, показатель угла или азимута, задержка и доплеровское смещение k-ой цели. Показатели MIMO РЛС сверхвысокого разрешения определяют угол (β=sin (θ)/2, см. рисунок 1), расстояние и скорость k-ой цели относительно РЛС. Таким образом, обнаружение целей сводится к оценке непрерывных параметров MIMO РЛС сверхвысокого разрешения возвращаемых сигналов y, r=0,…, NR-1 по отношению к заранее известным зондирующим сигналам xj.


Рисунок 1. Принцип работы MIMO РЛС

Однако на практике зондирующие сигналы xj должны быть ограничены по полосе частот и приближенно ограничены по длительности, а возвращаемые сигналы yr можно наблюдать только на конечных промежутках времени. В частности, мы предполагаем, что yr наблюдаются на интервале времени T, а xj имеет ширину полосы B и наблюдается в пропорциональном T временном интервале. Из (1) очевидно, что ограничения xj подразумевают, что yr также имеют ограничения по полосе частот и длительности, при условии, что пары дальность-Доплер конечны. Это происходит из-за затухания радиосигнала в свободном пространстве и конечной скорости объектов. Мы предполагаем, что MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Это не является ограничением, так как область на плоскости (τ,υ), на которой лежат пары дальность-Доплер может иметь очень большую площадь BT ≫ 1. На самом деле, распространенное предположение о том, что пары дальность-Доплер лежат в области площадью ≪1 [19, 20] в данном случае не является необходимым.


Так как вектор yr имеет ограничение по ширине полосы и времени, то согласно теореме Найквиста [14], он может быть определён порядком коэффициентов BT. Следовательно, мы дискретизируем yr на интервале [−T/2, T/2] с частотой 1/B, чтобы получить L := BT отсчётов1, то есть p-ое вхождение yr представляет из себя [yr]p ≔ yj (p/B) для p=-N,…,N, где

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Кроме того, мы формируем x с частотой дискретизации xl=x(l/B), путём дополнения нулями между каждыми L отсчётами, соответственно x будет определён на интервале длительностью 3T и иметь 3L отсчётов [14].


Как показано в [14], эти образцы задаются следующим выражением2:

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения


Здесь мы определяем временные сдвиги MIMO РЛС сверхвысокого разрешения и сдвиги частоты MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Из MIMO РЛС сверхвысокого разрешения следует, чтоMIMO РЛС сверхвысокого разрешения 


Так как Tτx и Fυx – функции с периодами υ и τ, равными единице, для дальнейших операций в этой статье мы можем предположить, что (τkk)∈[0,1]2. Операторы Tτ и Fυ можно рассматривать в качестве дробных операторов временных сдвигов и сдвигов частоты, принадлежащих множеству C L. Если (τk, υk) лежат на сетке (-1/L, 1/L), Fυ и Tτ сводятся к «естественным» операторам сдвигов частоты и времени, принадлежащим множеству CL, то есть

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Определение временного сдвига как преобразования Фурье, модулирования частоты и инвертирования преобразования Фурье в (3) – довольно естественное определение непрерывного временного сдвига τk ∈ [0,1] дискретного вектора x= [x_N),…,xN]T .


Мы свели задачу обнаружения целей в условиях ограниченных зондирующих сигналов xj и наблюдаемых на конечном промежутке времени отраженных сигналов yr к оценке параметров bk ∈ C, (βk, τk, υk) ∈ [0,1]3,k = 0,…,S - 1 в выборке [yr]p, r=0,…,N_(r-1),p=-N,…,N в (2). Мы называем это проблемой MIMO РЛС сверхвысокого разрешения.



Восстановление при помощи минимизации атомарной нормы
Здесь мы формально показываем наш алгоритм восстановления. Для этого зададим сначала вектор r≔[β,τ,υ] и запишем выражение (2) в матрично-векторной форме:

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения


Здесь, MIMO РЛС сверхвысокого разрешения где MIMO РЛС сверхвысокого разрешения имеет входные данные3

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения а MIMO РЛС сверхвысокого разрешения определен следующим образом. Выражение

MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

в (2) можно записать как
f-16.png где f-17.png

Пусть fp,j ∈ CL – вектор, где k-ое вхождение [fp,j]k =ap,k,j, k= -N,…,N, и пусть Aj ∈ CL×L2 — блочно-диагональная матрица с а-18.png на p-ой диагонали, где p = -N,…, N . Таким образом, A – блочно-диагональная матрица, на диагонали которой для всех NR расположена матрица [A0,…,ANT-1] ∈ CL×NTL2. С учетом этого, (2) принимает вид (4).


Важность представления (4) заключается в том, что восстановление bk, rk = [βkkk] из z является задачей анализа трехмерных спектральных линий, которая может быть решена при помощи методов спектрального анализа, например, метода Прони [9]. Таким образом, нам достаточно восстановить z ∈ CNRNTL2 из y ∈ CNRL. Для этого мы используем z в качестве разреженной линейной комбинации атомов в наборе MIMO РЛС сверхвысокого разрешения Регуляризатор, поддерживающий такую линейную комбинацию, является атомарной нормой, установленной этими сигналами [15] и определенной как MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

Норму z можно найти, решив задачу преследования базиса:


MIMO РЛС сверхвысокого разрешения


Подводя итог, мы получаем bk, rk при помощи:
  1. решения AN(y), для того чтобы получить z;
  2. получения rk из z путем решения соответствующей задачи анализа трехмерных спектральных линий;
  3. решения линейной системы уравненийMIMO РЛС сверхвысокого разрешения относительно bk.

Заметим, что rk можно получить и напрямую, решив двойственную задачу (5). Разбор применения этого метода в подобных задачах содержится в [12, секция 3.1, 10, секция 4, 11, секция 2.2, 14, секция 6].

Так как для вычисления атомарной нормы требуется найти точную нижнюю границу бесконечно большого числа параметров, поиск решения AN(y) может показаться тяжелой задачей. В случае одномерной задачи (только сдвиг угла, длительности или частоты) атомарная норма может быть описана как линейное матричное неравенство (англ. Linear Matrix Inequalities, LMIs) [11, секция 2.1]. Эта характеристика базируется на лемме о декомпозиции Вандермонда для матриц Тёплица и позволяет сформулировать задачу минимизации атомарной нормы как полуопределенную задачу, которая может быть решена за полиномиальное время. Несмотря на то, что эта лемма применима к многомерным измерениям [23, теорема 1], она имеет ограничение по порядку, что делает невозможным прямую характеризацию атомарной нормы линейных матричных неравенств. Несмотря на это, базируясь на [23, теорема 1] можно получить релаксацию AN(y) полуопределенного программирования (англ. Semidefinite Programming, SDP), которая также может быть решена за полиномиальное время. Подобным образом, при помощи SDP-релаксации может быть найдено решение двойственной задачи AN(y). Так как вычислительная сложность соответствующих полуопределенных программ довольно высока, мы не будем вдаваться в подробности SDP-релаксаций. Вместо этого, позже мы покажем, что rk можно восстанавливать на достаточно мелкой сетке при помощи L1-минимизации. Несмотря на то, что это приводит к погрешности при генерировании, сетка может быть достаточно мелкой, для того чтобы этой погрешностью можно было бы пренебречь по сравнению с погрешностью вызванной аддитивным шумом (на практике, аддитивный шум обычно присутствует).


Основной результат минимизации атомарной нормы

Мы используем случайные зондирующие сигналы путем выбора их образцов, т.е. вхождений xj в качестве независимых и одинаково распределенных гауссовских (или субгауссовских) случайных величин с нулевым средним значением и дисперсией 1/NTL. Наш основной результат приведен ниже.


Теорема 1. Пусть L = 2N + 1 ≥ 1024, NT NR ≥ 1024, и предположим, что мы наблюдаем f-21.png где знак bk выбирается независимо от симметричных распределений единичной окружности в комплексной плоскости, а rk = [βk, τk, υk] – произвольные тройки, подчиняющиеся условию минимального разнесения:


6.png


Здесь, |βk — βk'| - дуга охвата на единичной окружности. Например, |3/4 — 1/2 |=1/4 ,но |5/6 — 1/6| = 1/3 ≠ 2/3.

Выберем δ > 0| и предположим, что


7.png


где c – числовая постоянная. Тогда, с вероятностью не менее 1 - δ, z – единственная точка минимума AN(y) задачи (5).

Теорема 1 гарантирует, что с большой долей вероятности, bk , rk могут быть точно восстановлены из наблюдения y за счет решения выпуклой задачи оптимизации (напомним, что параметры bk , rk можно получить из z) при условии, что rk= [βkkk] достаточно разнесены по углу, времени или частоте, а общее количество целей удовлетворяет условию (7). Заметим, что при переходе к физическим параметрам f-22.png условие минимального разделения (6) принимает следующий вид:


f-23.png


Такое количество целей, местоположение которых можно найти, оптимально, так как S могут быть линейны вплоть до логарифмического масштаба при min (L, NTNR). S ≤ min ⁡(L,NT NR) является необходимым условием для восстановления bk, даже если rk известны. Для того чтобы система линейных уравнений (4) имела единственное решение, векторы Af(rk) должны быть линейно-независимыми. Если βk=0 для всех k или если τk =0 для всех k,то Af(rk),rk = [βkkk],k=0,…,S-1 могут быть только линейно-независимыми при условии, что S ≤ L и S ≤ NT NR соответственно. Стоит также заметить, что согласно условию минимального разделения, для стабильного восстановления требуется некое разделение между (βkkk). Это вызвано тем, что задача анализа спектральных линий (полученная путем установления βk=0, τk =0 для всех k) некорректна, если vk расположены близко друг к другу. Предположим, что частоты vk целей S’ находятся на интервалах меньше f-24.png Для S’ задача восстановления (bk,vk) поставлена некорректно [24, теорема 1.1, 25, 10, секция 1.7]. Условие (6) позволяет нам устанавливать частотно-временной сдвиг S’ = 0.2 на интервале f-24.png который будет оптимальным вплоть до 0.2.


Заметим, что комплексные коэффициенты bk в модели РЛС (1) описывают коэффициенты затухания. Распространенным ограничением в сфере беспроводных коммуникаций и РЛС [26] является то, что bk – комплексные нормально распределенные числа. В рамках данной модели, ограничение случайного знака в Теореме 1 удовлетворяется. Однако мы считаем, что ограничение случайного знака не является необходимым.

Теорема 1 доказывается путем построения соответствующего двойного сертификата. Существование такого сертификата гарантирует, что решением AN(y) в (5) является z, как показано в положении 1.

Положение 1 является следствием сильной двойственности и широко распространено в сфере опознания по сжатию [3]. Доказательство стандартно (см. [11, доказательство положения 2.4]).


Положение 1. Пусть y=Az, где f-27.png Если существует двойной сертификат f-26.png с комплексными коэффициентами q ∈ CNRL такими, что:


8.png

Тогда z – единственная точка минимума AN(y).

MIMO РЛС на мелкой сетке

Практический подход к оценке параметров rk из yr в выражении (2), описанный в [27] предполагает, что связки угол-время-частота лежат на мелкой сетке и решают задачу на этой сетке. Обычно, это приводит к погрешности при генерировании сетки, которая становится все незначительнее по мере того, как уменьшается масштаб. Ниже мы обсудим соответствующую (дискретную) задачу восстановления разреженного сигнала.

Пусть (βkkk) лежат на сетке с шагом (1/K1, 1/K2, 1/K3), где K1, K2, K3 – целые числа, удовлетворяющие K1≥NT NR, K2, K3 ≥ = 2N+1. Тогда проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения сводится к восстановлению разреженного (дискретного) сигнала s ∈ CK1 K2 K3 из измерений y = Rs, где R ∈ CNR L×K1 K2 K3 – матрица, в которой (n1, n2, n3) -ый столбец равен Af ([n1/K1, n2,/K2, n3/K3]). Заметим, что ненулевые значения s и их коэффициентов соответствуют bk и rk на сетке соответственно. Стандартный метод восстановления разреженного сигнала s из неопределенной системы линейных уравнений y=Rs используется для решения следующей выпуклой задачи:


9.png



Ниже приведен наш основной результат восстановления на мелкой сетке.

Теорема 2. Пусть L = 2N + 1 ≥1024,〖 N〗_T N_R≥ 1024, и предположим, что мы наблюдаем y=Rs, где sразреженный вектор, ненулевые элементы которого имеют коэффициенты из вспомогательного набора S ⊆ [K1 ] × [K2] × [K3]. Предположим, что эти коэффициенты удовлетворяют условию минимального разделения: для всех троек

f-28.png

Более того, мы предполагаем, что знаки ненулевых элементов s выбираются независимо от симметричных распределений на единичной окружности в комплексной плоскости. Выберем δ > 0 и предположим, что S ≤ c min ⁡(L,NT NR)/ log3 (L/δ), где c – числовая постоянная. Тогда, с вероятностью не менее 1-δ, s – единственная точка минимума L1(y) в (9).

Заметим, что Теорема 2 не накладывает ограничений на K1, K2, K3, то есть они могут иметь достаточно большие значения. Доказательство Теоремы 2 тесно связано с доказательством Теоремы 1. В частности, существование определенного двойного сертификата гарантирует, что s – единственная точка минимума L1(y) в (9).


Мы даем краткую численную оценку разрешения, полученного в результате использования нашего метода, и демонстрируем что оно устойчиво к помехам. Мы устанавливаем NT = 3, NR = 3, L=41 и задаем S = 5 местоположений целейk, τk, υk], используя равномерное распределение от [0,1] × [0,2/√L]2. Более того, мы задаем K1=SRFNT NR, K2 = SRFL и K3 = SRFL, где отношение сигнал/шум SRF ≥ 1 можно рассматривать в качестве коэффициента сверхвысокого разрешения, так как оно определяет, насколько сетка (1/K1, 1/K2, 1/K3) мельче исходной крупной сетки (1/(NT NR ), 1/B, 1/T). Чтобы компенсировать аддитивный шум, мы решаем следующую модификацию L1(y) из (9)

10.png


где порядок δ соответствует порядку дисперсии помех. Этот метод влечет за собой два источника погрешностей: погрешность при генерации сетки, которая возникает в результате предположения, что точки лежат на сетке с шагом (1/K1, 1/K2, 1/K3), что уменьшает SRF, и погрешность, вызванная аддитивным шумом. Результаты, показанные на рисунке 2, иллюстрируют, что разрешающая способность нашего метода значительно выше, чем у метода, основанного на опознании по сжатию, предложенного в [4, 5] при восстановлении на крупной сетке, так как SRF = 1. Более того, результаты показывают, что наш подход устойчив к помехам.

Рисунок 2.


Схема доказательства

Теорема 1 и Теорема 2 исходят из существования двойного сертификата, как указано в положении 1. Строение нашего сертификата f-29.png базируется на строении похожих сертификатов в [10, 11, 14]. Из f-30.png видно, что f-29.png – трехмерный тригонометрический полином от переменных β,τ,v с вектором коэффициентов AHq (вспомним, что вхождения f(r), r = [β,τ,v] обусловлены [f (r)] (v,k,p) ) = ei2π(vβ+kτ+pv)). Таким образом, для построения f-29.png нам необходимо построить трехмерный тригонометрический полином, удовлетворяющий условию (8), коэффициенты которого имеют вид AH q. Так как xj заданы случайно, а A зависит от xj, f-29.png – случайный тригонометрический полином.

Для упрощения обозначений, мы предполагаем, что NT NR = L, и задаем полином f-31.png где вхождения f-32.png заданы f-33.png С учетом этих обозначений, условие (8) для  f-34.png равносильно Q, при условии:


11.png


Мы задаем Q(r) в явном виде. В первую очередь, стоит рассмотреть построение определенного трехмерного тригонометрического полинома f-35.png со свободными, детерминированными коэффициентамиf-36.png которые удовлетворяют условию (11), но при этом не ограничены формой AH q. Такое строение было установлено для одномерных и двумерных случаев (при условии, что выполняется условие минимального разделения для rk) в [10, положение 2.1, положение С.1], в трехмерном случае построение выполняется аналогично. Для построения Q(r) Кандес и Фернандес-Гранда [10] интерполируют точки uk с быстро убывающим ядром f-37.png и принимают эту интерполяцию вблизи rk с частными производнымиf-38.png чтобы убедиться, что локальные максимумы достигаются в точках rk:

12.png

Здесь F(t) – квадратное ядро Фейера, являющееся определенным тригонометрическим полиномом с коэффициентамиf-39.png Смещенные версии F(t) (т.е. F(t – t0)) и производные F(t) также являются одномерными тригонометрическими полиномами порядка N, таким образом, ядро f-40.png его частные производные и смещенные версии – трехмерные тригонометрические полиномы вида f-41.png Построение f-34.png завершается демонстрацией того, что коэффициенты f-42.png можно подобрать таким образом, чтобы f-29.pngдостигала глобального максимума в точках rk.


Наше построение Q придерживается похожего плана. В частности, мы интерполируем точки uk на rk функциями f-43.png Здесь, gn (rk), n = [n1, n2, n3 ] – вектор, (v, k, p)-й коэффициент которого задается gv gk gp (i2πv)n1 (i2πk)n2 (i2πp)n3 e-i2π(βv+τk+υp), где gk – коэффициенты квадратного ядра Фейера F. С этим определением мы имеемf-44.png Это следует из того, что E [AH A] = I. Более того, Gn (r,rk) сконцентрированы вокругf-45.png Мы формируем Q путем интерполяции uk в точках rk функциями G(0,0,0) (r,rk), k=0,…, S-1 и принятия этой интерполяции вблизи rk, с линейными комбинациями G(1,0,0) (r,rk),G(0,1,0) (r,rk ) и G(0,0,1) (r,rk), чтобы обеспечить точное достижение локального максимума Q(r) в точках rk:

13.png

Заметим, что Q(r) – линейная комбинация функций Gm(r,rk) и по определению Gm(r,rk), она подчиняется f-46.png для некоторых q по требованию. Доказательство заключается в демонстрации того, что с высокой долью вероятности существует такой выбор коэффициентов αk α1k, α2k и α3k, при котором Q(r) достигает глобального максимума в точках rk и Q(rk) = uk, для всех k. Чтобы это утверждение имело смысл, выбор Gm (r, rk ) играет важную роль, главными составляющими являются сосредоточенность Gm(r,rk ) вокругf-47.png параметры f-40.png и f-34.png


Сноска 1: Для простоты будем считать, что L = BT – нечетное целое число.

Сноска 2: Если быть точнее, (2) имеет силу, при условии, что xj – периодическая по T величина на множестве ℝ, что, в свою очередь, означает, что xj не ограничены по длительности. Стоит также добавить, что, если xj лишь частично периодическая величина (xj поддерживается на интервале, пропорциональному T), (2) верно лишь отчасти. Соответствующая относительная ошибка (для случайного зондирующего сигнала), как показано в [14] затухает со сходимостью 1/√L, а значит, ею можно пренебречь при больших L.

Сноска 3: Здесь и далее мы используем трехмерный индекс для обращения к элементам вектора f.


Список литературы
  1. D. W. Bliss and K. W. Forsythe, “Multiple-input multiple-output (MIMO) radar and imaging,” in Asilomar Conf. on Signals, Syst. and Comput., 2003, pp. 54–59.
  2. J. Li and P. Stoica, “MIMO Radar with colocated antennas,” IEEE Signal Process. Mag., vol. 24, no. 5, pp. 106–114, 2007.
  3. E. J. Cand`es, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 52, no. 2, pp. 489–509, 2006.
  4. D. Dorsch and H. Rauhut, “Re?ned analysis of sparse MIMO radar,” arXiv:1509.03625, 2015.
  5. T. Strohmer and H. Wang, “Adventures in compressive sensing based MIMO Radar,” in Excursions in Harm. Anal., ser. Appl. Num. Harm. Anal., 2015, pp. 285–326.
  6. M. Herman and T. Strohmer, “High-resolution radar via compressed sensing,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 6, pp. 2275–2284, 2009.
  7. R. Baraniuk and P. Steeghs, “Compressive radar imaging,” in IEEE Radar Conf., 2007, pp. 128–133.
  8. R. Heckel and H. B?olcskei, “Identi?cation of sparse linear operators,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 59, no. 12, pp. 7985–8000, 2013.
  9. P. Stoica and R. L. Moses, Spectral Analysis of Signals. P.H., 2005.
  10. E. J. Cand`es and C. Fernandez-Granda, “Towards a mathematical theory of super-resolution,” Comm. Pure Appl. Math., vol. 67, no. 6, pp. 906– 956, 2014.
  11. G. Tang, B. Bhaskar, P. Shah, and B. Recht, “Compressed sensing off the grid,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 59, no. 11, pp. 7465–7490, 2013.
  12. B. N. Bhaskar, G. Tang, and B. Recht, “Atomic norm denoising with applications to line spectral estimation,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 61, no. 23, pp. 5987–5999, 2013.
  13. C. Aubel, D. Stotz, and H. B?olcskei, “A theory of super-resolution from short-time Fourier transform measurements,” arXiv:1509.01047, 2015.
  14. R.Heckel,V.I.Morgenshtern,andM.Soltanolkotabi,“Super-Resolution Radar,” Inf. Inference, vol. 5, no. 1, pp. 22–75, 2016.
  15. V. Chandrasekaran, B. Recht, P. A. Parrilo, and A. S. Willsky, “The convex geometry of linear inverse problems,” Found. Comput. Math., vol. 12, no. 6, pp. 805–849, 2012.
  16. B. Friedlander, “On the Relationship Between MIMO and SIMO Radars,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 1, pp. 394–398, Jan. 2009.
  17. T. Strohmer and B. Friedlander, “Analysis of sparse MIMO radar,” Appl. Comput. Harm. Anal., vol. 37, no. 3, pp. 361–388, 2014.
  18. T. Strohmer, “Pseudodifferential operators and Banach algebras in mobile communications,” Appl. Comput. Harmon. Anal., vol. 20, no. 2, pp. 237–249, 2006.
  19. G. Taub¨ock, F. Hlawatsch, D. Eiwen, and H. Rauhut, “Compressive estimation of doubly selective channels in multicarrier systems,” IEEE J. Sel. Topics Signal Process., vol. 4, no. 2, pp. 255–271, 2010.
  20. W. U. Bajwa, K. Gedalyahu, and Y. C. Eldar, “Identification of parametric underspread linear systems and super-resolution radar,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 59, no. 6, pp. 2548–2561, 2011.
  21. D. Slepian, “On bandwidth,” Proc. IEEE, vol. 64, no. 3, pp. 292–300, 1976.
  22. G. Durisi, V. I. Morgenshtern, and H. B¨olcskei, “On the sensitivity of continuous-time noncoherent fading channel capacity,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 58, no. 10, pp. 6372–6391, 2012.
  23. Z. Yang, L. Xie, and P. Stoica, “Vandermonde decomposition of multilevel Toeplitz matrices with application to multidimensional superresolution,” arXiv:1505.02510, 2015.
  24. D. L. Donoho, “Superresolution via sparsity constraints,” SIAM J. on Math. Anal., vol. 23, no. 5, pp. 1309–1331, 1992.
  25. V. I. Morgenshtern and E. J. Cand`es, “Stable super-resolution of positive sources: The discrete setup,” arXiv:1504.00717, 2014.
  26. P. A. Bello, “Characterization of randomly time-variant linear channels,” IEEE Trans. Commun. Syst., vol. 11, no. 4, pp. 360–393, 1963.
  27. G. Tang, B. N. Bhaskar, and B. Recht, “Sparse recovery over continuous dictionaries-just discretize,” in Asilomar Conf. on Signals, Syst. and Comput., Pacific Grove, CA, 2013, pp. 1043–1047.

Теги: РЛС, MIMO, MIMO РЛС