MIMO РЛС сверхвысокого разрешения

23 октября 2017

В последнее время в литературе, посвященной вопросам радиолокации, широко обсуждаются так называемые MIMO РЛС и их возможности. Термин MIMO (англ. Multi Input – Multi Output, «множественный вход – множественный выход») обозначает системы, использующие несколько передающих и несколько приемных антенн. Мы предлагаем перевод статьи, посвященной преимуществам MIMO РЛС, а также одной из проблем MIMO РЛС сверхвысокого разрешения и способу ее преодоления.

Автор: Рейнхард Хекель, кафедра электротехники и компьютерных наук, Калифорнийский университет, Беркли.

---

Аннотация

РЛС, использующая технологию нескольких передающих и нескольких приемных антенн (англ. Multiple Input, Multiple Output, MIMO, букв. «множественный вход – множественный выход»), излучает зондирующие сигналы при помощи нескольких передающих антенн и улавливает их отражения от целей при помощи нескольких приемных антенн. Оценка относительных углов, дальности и доплеровского смещения принятых сигналов позволяет определить местоположение и скорость целей. Стандартные подходы к MIMO РЛС, основанные на цифровых согласованных фильтрах или на опознании по сжатию (англ. compressed sensing) позволяют решать только связку угол-дальность-Доплер на сетке, имеющей шаг (1/(N_T N_R ), 1/B, 1/T), где N_T и N_R – количество передающих и приемных антенн, B – ширина полосы зондирующих сигналов, а T – время накопления отраженных сигналов. В этой статье мы показываем, что непрерывные связки угол-дальность-Доплер и соответствующие коэффициенты затухания можно точно восстановить из решения выпуклой задачи оптимизации. Восстановленные данные будут корректны, при условии, что связки угол-дальность-Доплер разнесены либо по углу: (10/N_T N_R -1), либо по задержке: (10.01/B), либо по направлению доплеровского смещения: (10.01/T). Более того, количество таких связок, которое может быть восстановлено, является оптимальным (вплоть до логарифмического масштаба).

Введение

Традиционная импульсно-доплеровская РЛС передает зондирующий сигнал и принимает отражение от целей при помощи одной антенны. Такая РЛС с одной передающей и одной приемной антеннами (англ. Single Input, Single Output, SISO) может определить относительное расстояние до цели и ее скорость, оценивая дальность и доплеровские смещения. SISO РЛС не может определить местоположение цели после одного измерения. MIMO РЛС [1, 2] одновременно используют несколько передающих антенн для передачи зондирующих сигналов и записывают отражения от целей при помощи нескольких приемных антенн. Таким образом, MIMO РЛС может определить относительные расстояния и скорости целей после одного измерения. В этой статье изучается проблема восстановления непрерывных значений углов, дальности и доплеровских смещений из реакций на заранее известные подходящие излучаемые сигналы. Как будет видно из статьи, эта проблема, которую называют проблемой MIMO РЛС сверхвысокого разрешения, сводится к восстановлению слабого сигнала из непрерывного набора линейных измерений.

Если цели лежат на достаточно крупной сетке, подходы, основанные на опознании по сжатию [3], достоверно восстанавливают связки угол-дальность-Доплер для MIMO РЛС [4] и пары дальность-Доплер для SISO РЛС [6, 7, 8]. Однако для проверки этих результатов [6, 7, 4, 5] предполагают, что углы, задержки и доплеровские смещения лежат на достаточно крупной сетке, имеющей шаг 1/(N_T N_R),1/B,и 1/T. Здесь N_T и N_R – количество передающих и приемных антенн, B – ширина полосы зондирующих сигналов, а Т – время накопления отраженных сигналов. Так как N_T, N_R, B и Т – физические параметры, в большинстве случаев им нельзя присваивать большие значения для уменьшения шага сетки. Большой размер сетки необходим, чтобы матрица измерений была достаточно несвязной. Следовательно, вышеупомянутые результаты не могут быть перенесены на сетку со значительно меньшим шагом. Однако в редких случаях восстановление можно осуществить с помощью спектрального анализа. Например, в случае одной приемной антенны и заранее известных или постоянных задержек, или заранее известных или постоянных доплеровских смещений, проблема РЛС сверхвысокого разрешения сводится к стандартной задаче оценки двухмерных спектральных линий [5, секция 5]. В таком случае, местоположение целей можно восстановить при помощи метода Прони [9]. Однако в большинстве случаев проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения не может быть сведена к задаче спектрального анализа, даже в случае SISO РЛС. Таким образом, традиционные методы спектрального анализа неприменимы для решения этой проблемы. Недавно для решения задачи спектрального анализа был предложен альтернативный выпуклый метод оптимизации. В частности, в [10] показано, что соответствующие частоты могут быть точно восстановлены за счет решения выпуклой вариационной задачи по минимизации нормы, при условии, что они достаточно разнесены. Для опознания по сжатию вне сетки были изучены различные методы решения выпуклых задач оптимизации [11], шумоподавления [12], восстановления сигнала из кратковременных измерений Фурье [13] и решения проблемы SISO РЛС сверхвысокого разрешения [14]. Проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения гораздо сложнее, чем её SISO-аналог, рассмотренный в [14]. Это связано с добавлением нового измерения – угла, а также с тем, что зондирующие сигналы с нескольких передающих антенн накладываются друг на друга на приемных антеннах.

В этой статье мы предлагаем метод решения выпуклой задачи оптимизации, похожий на [10, 11, 12, 14, 15], и показываем, что с её помощью можно получить точные непрерывные значения углов, дальности и доплеровских смещений при условии, что они достаточно разнесены. Насколько нам известно, это первый подход, который в большинстве случаев достоверно восстанавливает связки угол-дальность-Доплер вне сетки. Далее, мы показываем, что простой метод выпуклой L1-минимизации может восстановить значения углов, дальности и доплеровских смещений на достаточно мелкой сетке, при условии, что они разнесены. Мы также продемонстрируем численные результаты, подтверждающие, что этот подход устойчив к помехам.

Модель сигнала и формальная постановка задачи

Мы рассматриваем MIMO РЛС c N_T передающими и N_R приемными антеннами, лежащими в одной плоскости с целями S (см. рисунок 1). Этот метод может быть использован для обнаружения целей, находящихся в трехмерном пространстве, но для наглядности мы сосредоточимся на целях, лежащих на плоскости. Мы предполагаем, что цели находятся в дальней зоне решетки, что позволяет равномерно разнести передающие и приемные антенны на расстояния λ/2 и N_T λ/2 соответственно, где λ – длина волны на несущей частоте. Такое расположение создает равномерно разнесенную виртуальную решетку с N_TN_R антеннами, максимизируя количество виртуальных антенн, которое можно получить из N_T передающих и N_R приемных антенн [16, 17]. Видеосигнал y_r(t), который антенна r = 0,…, N_R – 1 принимает за продолжительное время t, состоит из суперпозиции отраженных от целей зондирующих сигналов x_j(t), j = 0, …, N_T – 1 и задается следующим выражением:

Здесь,  – коэффициент ослабления, показатель угла или азимута, задержка и доплеровское смещение k-ой цели. Показатели  определяют угол (β=sin (θ)/2, см. рисунок 1), расстояние и скорость k-ой цели относительно РЛС. Таким образом, обнаружение целей сводится к оценке непрерывных параметров  возвращаемых сигналов y_r , r=0,…, N_R-1 по отношению к заранее известным зондирующим сигналам x_j.

Однако на практике зондирующие сигналы x_j должны быть ограничены по полосе частот и приближенно ограничены по длительности, а возвращаемые сигналы y_r можно наблюдать только на конечных промежутках времени. В частности, мы предполагаем, что y_r наблюдаются на интервале времени T, а x_j имеет ширину полосы B и наблюдается в пропорциональном T временном интервале. Из (1) очевидно, что ограничения x_j подразумевают, что y_r также имеют ограничения по полосе частот и длительности, при условии, что пары дальность-Доплер конечны. Это происходит из-за затухания радиосигнала в свободном пространстве и конечной скорости объектов. Мы предполагаем, что

Это не является ограничением, так как область на плоскости (τ,υ), на которой лежат пары дальность-Доплер может иметь очень большую площадь BT ≫ 1. На самом деле, распространенное предположение о том, что пары дальность-Доплер лежат в области площадью ≪1 [19, 20] в данном случае не является необходимым.

Так как вектор y_r имеет ограничение по ширине полосы и времени, то согласно теореме Найквиста [14], он может быть определён порядком коэффициентов BT. Следовательно, мы дискретизируем y_r на интервале [−T/2, T/2] с частотой 1/B, чтобы получить L := BT отсчётов¹, то есть p-ое вхождение y_r представляет из себя [y_r]p ≔ y_j (p/B) для p=-N,…,N, где

Кроме того, мы формируем x с частотой дискретизации xl=x(l/B), путём дополнения нулями между каждыми L отсчётами, соответственно x будет определён на интервале длительностью 3T и иметь 3L отсчётов [14].

Как показано в [14], эти образцы задаются следующим выражением²:

Здесь мы определяем временные сдвиги  и сдвиги частоты 

Из следует, что 

Так как T_τx и F_υx – функции с периодами υ и τ, равными единице, для дальнейших операций в этой статье мы можем предположить, что (τ_k,υ_k)∈[0,1]². Операторы T_τ и F_υ можно рассматривать в качестве дробных операторов временных сдвигов и сдвигов частоты, принадлежащих множеству C ^L. Если (τ_k, υ_k) лежат на сетке (-1/L, 1/L), F_υ и T_τ сводятся к «естественным» операторам сдвигов частоты и времени, принадлежащим множеству C^L, то есть

Определение временного сдвига как преобразования Фурье, модулирования частоты и инвертирования преобразования Фурье в (3) – довольно естественное определение непрерывного временного сдвига τ_k ∈ [0,1] дискретного вектора x= [x__N),…,x_N]^T .

Мы свели задачу обнаружения целей в условиях ограниченных зондирующих сигналов x_j и наблюдаемых на конечном промежутке времени отраженных сигналов y_r к оценке параметров b_k ∈ C, (β_k, τ_k, υ_k) ∈ [0,1]³,k = 0,…,S - 1 в выборке [y_r]_p, r=0,…,N_(r-1),p=-N,…,N в (2). Мы называем это проблемой MIMO РЛС сверхвысокого разрешения.

Восстановление при помощи минимизации атомарной нормы
Здесь мы формально показываем наш алгоритм восстановления. Для этого зададим сначала вектор r≔[β,τ,υ] и запишем выражение (2) в матрично-векторной форме:

Здесь, где имеет входные данные³

а  определен следующим образом. Выражение



в (2) можно записать как
где

Пусть f_p,j ∈ C^L – вектор, где k-ое вхождение [f_p,j]_k =a_p,k,j, k= -N,…,N, и пусть A_j ∈ C^L×L2 — блочно-диагональная матрица с  на p-ой диагонали, где p = -N,…, N . Таким образом, A – блочно-диагональная матрица, на диагонали которой для всех N_R расположена матрица [A₀,…,A_NT-1] ∈ C^L×N_TL2. С учетом этого, (2) принимает вид (4).

Важность представления (4) заключается в том, что восстановление b_k, r_k = [β_k,τ_k,υ_k] из z является задачей анализа трехмерных спектральных линий, которая может быть решена при помощи методов спектрального анализа, например, метода Прони [9]. Таким образом, нам достаточно восстановить z ∈ C^N_RN_TL2 из y ∈ C^N_RL. Для этого мы используем z в качестве разреженной линейной комбинации атомов в наборе Регуляризатор, поддерживающий такую линейную комбинацию, является атомарной нормой, установленной этими сигналами [15] и определенной как 

Норму z можно найти, решив задачу преследования базиса:

Подводя итог, мы получаем b_k, r_k при помощи:

1. решения AN(y), для того чтобы получить z;
2. получения r_k из z путем решения соответствующей задачи анализа трехмерных спектральных линий;
3. решения линейной системы уравнений относительно b_k.

Заметим, что r_k можно получить и напрямую, решив двойственную задачу (5). Разбор применения этого метода в подобных задачах содержится в [12, секция 3.1, 10, секция 4, 11, секция 2.2, 14, секция 6].

Так как для вычисления атомарной нормы требуется найти точную нижнюю границу бесконечно большого числа параметров, поиск решения AN(y) может показаться тяжелой задачей. В случае одномерной задачи (только сдвиг угла, длительности или частоты) атомарная норма может быть описана как линейное матричное неравенство (англ. Linear Matrix Inequalities, LMIs) [11, секция 2.1]. Эта характеристика базируется на лемме о декомпозиции Вандермонда для матриц Тёплица и позволяет сформулировать задачу минимизации атомарной нормы как полуопределенную задачу, которая может быть решена за полиномиальное время. Несмотря на то, что эта лемма применима к многомерным измерениям [23, теорема 1], она имеет ограничение по порядку, что делает невозможным прямую характеризацию атомарной нормы линейных матричных неравенств. Несмотря на это, базируясь на [23, теорема 1] можно получить релаксацию AN(y) полуопределенного программирования (англ. Semidefinite Programming, SDP), которая также может быть решена за полиномиальное время. Подобным образом, при помощи SDP-релаксации может быть найдено решение двойственной задачи AN(y). Так как вычислительная сложность соответствующих полуопределенных программ довольно высока, мы не будем вдаваться в подробности SDP-релаксаций. Вместо этого, позже мы покажем, что r_k можно восстанавливать на достаточно мелкой сетке при помощи L₁-минимизации. Несмотря на то, что это приводит к погрешности при генерировании, сетка может быть достаточно мелкой, для того чтобы этой погрешностью можно было бы пренебречь по сравнению с погрешностью вызванной аддитивным шумом (на практике, аддитивный шум обычно присутствует).

Основной результат минимизации атомарной нормы

Мы используем случайные зондирующие сигналы путем выбора их образцов, т.е. вхождений x_j в качестве независимых и одинаково распределенных гауссовских (или субгауссовских) случайных величин с нулевым средним значением и дисперсией 1/N_TL. Наш основной результат приведен ниже.

Теорема 1. Пусть L = 2N + 1 ≥ 1024, N_T N_R ≥ 1024, и предположим, что мы наблюдаем где знак b_k выбирается независимо от симметричных распределений единичной окружности в комплексной плоскости, а r_k = [β_k, τ_k, υ_k] – произвольные тройки, подчиняющиеся условию минимального разнесения:

Здесь, |β_k — β_k'| - дуга охвата на единичной окружности. Например, |3/4 — 1/2 |=1/4 ,но |5/6 — 1/6| = 1/3 ≠ 2/3.

Выберем δ > 0| и предположим, что

где c – числовая постоянная. Тогда, с вероятностью не менее 1 - δ, z – единственная точка минимума AN(y) задачи (5).

Теорема 1 гарантирует, что с большой долей вероятности, b_k , r_k могут быть точно восстановлены из наблюдения y за счет решения выпуклой задачи оптимизации (напомним, что параметры b_k , r_k можно получить из z) при условии, что r_k= [β_k,τ_k,υ_k] достаточно разнесены по углу, времени или частоте, а общее количество целей удовлетворяет условию (7). Заметим, что при переходе к физическим параметрам  условие минимального разделения (6) принимает следующий вид:

Такое количество целей, местоположение которых можно найти, оптимально, так как S могут быть линейны вплоть до логарифмического масштаба при min (L, NTNR). S ≤ min ⁡(L,N_T N_R) является необходимым условием для восстановления b_k, даже если r_k известны. Для того чтобы система линейных уравнений (4) имела единственное решение, векторы Af(r_k) должны быть линейно-независимыми. Если β_k=0 для всех k или если τ_k =0 для всех k,то Af(r_k),r_k = [β_k,τ_k,υ_k],k=0,…,S-1 могут быть только линейно-независимыми при условии, что S ≤ L и S ≤ N_T N_R соответственно. Стоит также заметить, что согласно условию минимального разделения, для стабильного восстановления требуется некое разделение между (β_k,τ_k,υ_k). Это вызвано тем, что задача анализа спектральных линий (полученная путем установления β_k=0, τ_k =0 для всех k) некорректна, если v_k расположены близко друг к другу. Предположим, что частоты v_k целей S’ находятся на интервалах меньше Для S’ задача восстановления (b_k,v_k) поставлена некорректно [24, теорема 1.1, 25, 10, секция 1.7]. Условие (6) позволяет нам устанавливать частотно-временной сдвиг S’ = 0.2 на интервале который будет оптимальным вплоть до 0.2.

Заметим, что комплексные коэффициенты b_k в модели РЛС (1) описывают коэффициенты затухания. Распространенным ограничением в сфере беспроводных коммуникаций и РЛС [26] является то, что b_k – комплексные нормально распределенные числа. В рамках данной модели, ограничение случайного знака в Теореме 1 удовлетворяется. Однако мы считаем, что ограничение случайного знака не является необходимым.

Теорема 1 доказывается путем построения соответствующего двойного сертификата. Существование такого сертификата гарантирует, что решением AN(y) в (5) является z, как показано в положении 1.

Положение 1 является следствием сильной двойственности и широко распространено в сфере опознания по сжатию [3]. Доказательство стандартно (см. [11, доказательство положения 2.4]).

Положение 1. Пусть y=Az, где  Если существует двойной сертификат  с комплексными коэффициентами q ∈ C^N_RL такими, что:

Тогда z – единственная точка минимума AN(y).

MIMO РЛС на мелкой сетке

Практический подход к оценке параметров r_k из y_r в выражении (2), описанный в [27] предполагает, что связки угол-время-частота лежат на мелкой сетке и решают задачу на этой сетке. Обычно, это приводит к погрешности при генерировании сетки, которая становится все незначительнее по мере того, как уменьшается масштаб. Ниже мы обсудим соответствующую (дискретную) задачу восстановления разреженного сигнала.

Пусть (β_k,τ_k,υ_k) лежат на сетке с шагом (1/K1, 1/K2, 1/K3), где K₁, K₂, K₃ – целые числа, удовлетворяющие K₁≥N_T N_R, K₂, K₃ ≥ = 2N+1. Тогда проблема MIMO РЛС сверхвысокого разрешения сводится к восстановлению разреженного (дискретного) сигнала s ∈ C^{K₁ K₂ K₃} из измерений y = Rs, где R ∈ C^{N_R L×K₁ K₂ K₃} – матрица, в которой (n₁, n₂, n3) -ый столбец равен Af ([n₁/K₁, n₂,/K₂, n₃/K₃]). Заметим, что ненулевые значения s и их коэффициентов соответствуют b_k и r_k на сетке соответственно. Стандартный метод восстановления разреженного сигнала s из неопределенной системы линейных уравнений y=Rs используется для решения следующей выпуклой задачи:

Ниже приведен наш основной результат восстановления на мелкой сетке.

Теорема 2. Пусть L = 2N + 1 ≥1024,〖 N〗_T N_R≥ 1024, и предположим, что мы наблюдаем y=Rs, где s – разреженный вектор, ненулевые элементы которого имеют коэффициенты из вспомогательного набора S ⊆ [K₁ ] × [K₂] × [K₃]. Предположим, что эти коэффициенты удовлетворяют условию минимального разделения: для всех троек

Более того, мы предполагаем, что знаки ненулевых элементов s выбираются независимо от симметричных распределений на единичной окружности в комплексной плоскости. Выберем δ > 0 и предположим, что S ≤ c min ⁡(L,N_T N_R)/ log³ (L/δ), где c – числовая постоянная. Тогда, с вероятностью не менее 1-δ, s – единственная точка минимума L1(y) в (9).

Заметим, что Теорема 2 не накладывает ограничений на K₁, K₂, K₃, то есть они могут иметь достаточно большие значения. Доказательство Теоремы 2 тесно связано с доказательством Теоремы 1. В частности, существование определенного двойного сертификата гарантирует, что s – единственная точка минимума L1(y) в (9).

Мы даем краткую численную оценку разрешения, полученного в результате использования нашего метода, и демонстрируем что оно устойчиво к помехам. Мы устанавливаем N_T = 3, N_R = 3, L=41 и задаем S = 5 местоположений целей [β_k, τ_k, υ_k], используя равномерное распределение от [0,1] × [0,2/√L]². Более того, мы задаем K₁=SRFN_T N_R, K₂ = SRFL и K₃ = SRFL, где отношение сигнал/шум SRF ≥ 1 можно рассматривать в качестве коэффициента сверхвысокого разрешения, так как оно определяет, насколько сетка (1/K₁, 1/K₂, 1/K₃) мельче исходной крупной сетки (1/(N_T N_R ), 1/B, 1/T). Чтобы компенсировать аддитивный шум, мы решаем следующую модификацию L1(y) из (9)

где порядок δ соответствует порядку дисперсии помех. Этот метод влечет за собой два источника погрешностей: погрешность при генерации сетки, которая возникает в результате предположения, что точки лежат на сетке с шагом (1/K₁, 1/K₂, 1/K₃), что уменьшает SRF, и погрешность, вызванная аддитивным шумом. Результаты, показанные на рисунке 2, иллюстрируют, что разрешающая способность нашего метода значительно выше, чем у метода, основанного на опознании по сжатию, предложенного в [4, 5] при восстановлении на крупной сетке, так как SRF = 1. Более того, результаты показывают, что наш подход устойчив к помехам.

Схема доказательства

Теорема 1 и Теорема 2 исходят из существования двойного сертификата, как указано в положении 1. Строение нашего сертификата базируется на строении похожих сертификатов в [10, 11, 14]. Из  видно, что – трехмерный тригонометрический полином от переменных β,τ,v с вектором коэффициентов A^Hq (вспомним, что вхождения f(r), r = [β,τ,v] обусловлены [f (r)] _(v,k,p) ) = e^{i2π(vβ+kτ+pv)}). Таким образом, для построения нам необходимо построить трехмерный тригонометрический полином, удовлетворяющий условию (8), коэффициенты которого имеют вид A^H q. Так как x_j заданы случайно, а A зависит от x_j, – случайный тригонометрический полином.

Для упрощения обозначений, мы предполагаем, что N_T N_R = L, и задаем полином  где вхождения  заданы  С учетом этих обозначений, условие (8) для   равносильно Q, при условии:

Мы задаем Q(r) в явном виде. В первую очередь, стоит рассмотреть построение определенного трехмерного тригонометрического полинома со свободными, детерминированными коэффициентами которые удовлетворяют условию (11), но при этом не ограничены формой A^H q. Такое строение было установлено для одномерных и двумерных случаев (при условии, что выполняется условие минимального разделения для r_k) в [10, положение 2.1, положение С.1], в трехмерном случае построение выполняется аналогично. Для построения Q(r) Кандес и Фернандес-Гранда [10] интерполируют точки u_k с быстро убывающим ядром и принимают эту интерполяцию вблизи r_k с частными производными чтобы убедиться, что локальные максимумы достигаются в точках r_k:

Здесь F(t) – квадратное ядро Фейера, являющееся определенным тригонометрическим полиномом с коэффициентами Смещенные версии F(t) (т.е. F(t – t0)) и производные F(t) также являются одномерными тригонометрическими полиномами порядка N, таким образом, ядро  его частные производные и смещенные версии – трехмерные тригонометрические полиномы вида  Построение  завершается демонстрацией того, что коэффициенты можно подобрать таким образом, чтобы достигала глобального максимума в точках r_k.

Наше построение Q придерживается похожего плана. В частности, мы интерполируем точки u_k на r_k функциями  Здесь, g_n (r_k), n = [n₁, n₂, n₃ ] – вектор, (v, k, p)-й коэффициент которого задается g_v g_k g_p (i2πv)^n₁ (i2πk)^n₂ (i2πp)^n₃ e^{-i2π(βv+τk+υp)}, где g_k – коэффициенты квадратного ядра Фейера F. С этим определением мы имеем Это следует из того, что E [A^H A] = I. Более того, G_n (r,r_k) сконцентрированы вокруг Мы формируем Q путем интерполяции u_k в точках r_k функциями G_(0,0,0) (r,r_k), k=0,…, S-1 и принятия этой интерполяции вблизи r_k, с линейными комбинациями G_(1,0,0) (r,r_k),G_(0,1,0) (r,r_k ) и G_(0,0,1) (r,r_k), чтобы обеспечить точное достижение локального максимума Q(r) в точках r_k:

Заметим, что Q(r) – линейная комбинация функций G_m(r,r_k) и по определению G_m(r,r_k), она подчиняется  для некоторых q по требованию. Доказательство заключается в демонстрации того, что с высокой долью вероятности существует такой выбор коэффициентов α_k α_1k, α_2k и α_3k, при котором Q(r) достигает глобального максимума в точках r_k и Q(r_k) = u_k, для всех k. Чтобы это утверждение имело смысл, выбор G_m (r, r_k ) играет важную роль, главными составляющими являются сосредоточенность G_m(r,r_k ) вокруг параметры  и

Сноска 1: Для простоты будем считать, что L = BT – нечетное целое число.

Сноска 2: Если быть точнее, (2) имеет силу, при условии, что x_j – периодическая по T величина на множестве ℝ, что, в свою очередь, означает, что x_j не ограничены по длительности. Стоит также добавить, что, если x_j лишь частично периодическая величина (x_j поддерживается на интервале, пропорциональному T), (2) верно лишь отчасти. Соответствующая относительная ошибка (для случайного зондирующего сигнала), как показано в [14] затухает со сходимостью 1/√L, а значит, ею можно пренебречь при больших L.

Сноска 3: Здесь и далее мы используем трехмерный индекс для обращения к элементам вектора f.

Список литературы

1. D. W. Bliss and K. W. Forsythe, “Multiple-input multiple-output (MIMO) radar and imaging,” in Asilomar Conf. on Signals, Syst. and Comput., 2003, pp. 54–59.
2. J. Li and P. Stoica, “MIMO Radar with colocated antennas,” IEEE Signal Process. Mag., vol. 24, no. 5, pp. 106–114, 2007.
3. E. J. Cand`es, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 52, no. 2, pp. 489–509, 2006.
4. D. Dorsch and H. Rauhut, “Re?ned analysis of sparse MIMO radar,” arXiv:1509.03625, 2015.
5. T. Strohmer and H. Wang, “Adventures in compressive sensing based MIMO Radar,” in Excursions in Harm. Anal., ser. Appl. Num. Harm. Anal., 2015, pp. 285–326.
6. M. Herman and T. Strohmer, “High-resolution radar via compressed sensing,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 6, pp. 2275–2284, 2009.
7. R. Baraniuk and P. Steeghs, “Compressive radar imaging,” in IEEE Radar Conf., 2007, pp. 128–133.
8. R. Heckel and H. B?olcskei, “Identi?cation of sparse linear operators,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 59, no. 12, pp. 7985–8000, 2013.
9. P. Stoica and R. L. Moses, Spectral Analysis of Signals. P.H., 2005.
10. E. J. Cand`es and C. Fernandez-Granda, “Towards a mathematical theory of super-resolution,” Comm. Pure Appl. Math., vol. 67, no. 6, pp. 906– 956, 2014.
11. G. Tang, B. Bhaskar, P. Shah, and B. Recht, “Compressed sensing off the grid,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 59, no. 11, pp. 7465–7490, 2013.
12. B. N. Bhaskar, G. Tang, and B. Recht, “Atomic norm denoising with applications to line spectral estimation,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 61, no. 23, pp. 5987–5999, 2013.
13. C. Aubel, D. Stotz, and H. B?olcskei, “A theory of super-resolution from short-time Fourier transform measurements,” arXiv:1509.01047, 2015.
14. R.Heckel,V.I.Morgenshtern,andM.Soltanolkotabi,“Super-Resolution Radar,” Inf. Inference, vol. 5, no. 1, pp. 22–75, 2016.
15. V. Chandrasekaran, B. Recht, P. A. Parrilo, and A. S. Willsky, “The convex geometry of linear inverse problems,” Found. Comput. Math., vol. 12, no. 6, pp. 805–849, 2012.
16. B. Friedlander, “On the Relationship Between MIMO and SIMO Radars,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 1, pp. 394–398, Jan. 2009.
17. T. Strohmer and B. Friedlander, “Analysis of sparse MIMO radar,” Appl. Comput. Harm. Anal., vol. 37, no. 3, pp. 361–388, 2014.
18. T. Strohmer, “Pseudodifferential operators and Banach algebras in mobile communications,” Appl. Comput. Harmon. Anal., vol. 20, no. 2, pp. 237–249, 2006.
19. G. Taub¨ock, F. Hlawatsch, D. Eiwen, and H. Rauhut, “Compressive estimation of doubly selective channels in multicarrier systems,” IEEE J. Sel. Topics Signal Process., vol. 4, no. 2, pp. 255–271, 2010.
20. W. U. Bajwa, K. Gedalyahu, and Y. C. Eldar, “Identification of parametric underspread linear systems and super-resolution radar,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 59, no. 6, pp. 2548–2561, 2011.
21. D. Slepian, “On bandwidth,” Proc. IEEE, vol. 64, no. 3, pp. 292–300, 1976.
22. G. Durisi, V. I. Morgenshtern, and H. B¨olcskei, “On the sensitivity of continuous-time noncoherent fading channel capacity,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 58, no. 10, pp. 6372–6391, 2012.
23. Z. Yang, L. Xie, and P. Stoica, “Vandermonde decomposition of multilevel Toeplitz matrices with application to multidimensional superresolution,” arXiv:1505.02510, 2015.
24. D. L. Donoho, “Superresolution via sparsity constraints,” SIAM J. on Math. Anal., vol. 23, no. 5, pp. 1309–1331, 1992.
25. V. I. Morgenshtern and E. J. Cand`es, “Stable super-resolution of positive sources: The discrete setup,” arXiv:1504.00717, 2014.
26. P. A. Bello, “Characterization of randomly time-variant linear channels,” IEEE Trans. Commun. Syst., vol. 11, no. 4, pp. 360–393, 1963.
27. G. Tang, B. N. Bhaskar, and B. Recht, “Sparse recovery over continuous dictionaries-just discretize,” in Asilomar Conf. on Signals, Syst. and Comput., Pacific Grove, CA, 2013, pp. 1043–1047.

Теги: РЛС, MIMO, MIMO РЛС